Tuyến tính

Phép toán giá trị kỳ vọng (hay phép toán kỳ vọng) E {\displaystyle \mathrm {E} } là phép toán tuyến tính theo nghĩa sau

E [ a X + b Y ] = a E [ X ] + b E [ Y ] {\displaystyle \mathrm {E} [aX+bY]=a\mathrm {E} [X]+b\mathrm {E} [Y]\,}

với hai biến ngẫu nhiên X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} bất kỳ (được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất) và hai số thực bất kỳ a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} .

Kỳ vọng lặp

Với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ X , Y {\displaystyle X,Y} , ta có thể định nghĩa kỳ vọng có điều kiện (conditional expectation):

E [ X | Y ] ( y ) = E [ X | Y = y ] = ∑ x x ⋅ P ( X = x | Y = y ) . {\displaystyle \mathrm {E} [X|Y](y)=\mathrm {E} [X|Y=y]=\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x|Y=y).}

Khi đó giá trị kỳ vọng của X {\displaystyle X} thỏa mãn

E ( E [ X | Y ] ) = ∑ y E [ X | Y = y ] ⋅ P ( Y = y ) = ∑ y ( ∑ x x ⋅ P ( X = x | Y = y ) ) ⋅ P ( Y = y ) = ∑ y ∑ x x ⋅ P ( X = x | Y = y ) ⋅ P ( Y = y ) = ∑ y ∑ x x ⋅ P ( Y = y | X = x ) ⋅ P ( X = x ) = ∑ x x ⋅ P ( X = x ) ⋅ ( ∑ y P ( Y = y | X = x ) ) = ∑ x x ⋅ P ( X = x ) = E [ X ] . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {E} \left(\mathrm {E} [X|Y]\right)&=&\sum _{y}\mathrm {E} [X|Y=y]\cdot \mathrm {P} (Y=y)\\&=&\sum _{y}\left(\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\\&=&\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x|Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\\&=&\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (Y=y|X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&=&\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x)\cdot \left(\sum _{y}\mathrm {P} (Y=y|X=x)\right)\\&=&\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&=&\mathrm {E} [X].\end{matrix}}}

Do đó, đẳng thức sau là đúng:

E [ X ] = E ( E [ X | Y ] ) . {\displaystyle \mathrm {E} [X]=\mathrm {E} \left(\mathrm {E} [X|Y]\right).}

Vế phải của đẳng thức được gọi là kỳ vọng lặp. Mệnh đề này được nói đến trong quy tắc kỳ vọng toàn thể (law of total expectation)

Bất đẳng thức

Nếu một biến ngẫu nhiên X luôn nhỏ hơn hay bằng một biến ngẫu nhiên Y khác, kỳ vọng của X cũng nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của Y:

Nếu X ≤ Y {\displaystyle X\leq Y} , thì E [ X ] ≤ E [ Y ] {\displaystyle \mathrm {E} [X]\leq \mathrm {E} [Y]} .

Đặc biệt, do X ≤ | X | {\displaystyle X\leq |X|} và − X ≤ | X | {\displaystyle -X\leq |X|} , giá trị tuyệt đối của kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của giá trị tuyệt đối của nó:

| E [ X ] | ≤ E [ | X | ] {\displaystyle |\mathrm {E} [X]|\leq \mathrm {E} [|X|]}

Biểu diễn

Công thức sau đúng với mọi biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm X {\displaystyle X} (sao cho E [ X ] < ∞ {\displaystyle \mathrm {E} [X]<\infty } ), và số thực α {\displaystyle \alpha } lớn hơn 0:

E [ X α ] = α ∫ 0 ∞ t α − 1 P ( X > t ) d t . {\displaystyle \mathrm {E} [X^{\alpha }]=\alpha \int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\mathrm {P} (X>t)\mathrm {d} t.}

Không có tính nhân

Nói chung, phép toán giá trị kỳ vọng không có tính nhân, nghĩa là E [ X Y ] {\displaystyle \mathrm {E} [XY]} không nhất thiết bằng E [ X ] E [ Y ] {\displaystyle \mathrm {E} [X]\mathrm {E} [Y]} , ngoại trừ nếu X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} là độc lập hoặc không tương quan (uncorrelated).Sự không có tính nhân này dẫn đến nghiên cứu về hiệp phương sai (covariance) và sự tương quan (correlation).

Không bất biến về hàm

Nói chung, phép toán kỳ vọng và hàm của các biến ngẫu nhiên không có tính hoán vị; nghĩa là

E [ g ( X ) ] = ∫ Ω g ( X ) d P ≠ g ( E ⁡ X ) , {\displaystyle \mathrm {E} [g(X)]=\int _{\Omega }g(X)\,\mathrm {d} P\neq g(\operatorname {E} X),}

trừ trường hợp được ghi chú như ở trên.